\bta{2023}


\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
	\begin{enumerate}
		%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
		% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
		%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
		%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
		%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
		\item
		对于一维谐振子 $H=\frac{p^2}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ 有产生与湮灭算符, 分别为
		\[
		a ^{\dagger}=\frac{-i p}{\sqrt{2 m \hbar \omega}}+\sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x  \qquad a=\frac{i p}{\sqrt{2 m \hbar \omega}}+\sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x 
		\]
		计算 $[a, a ^{\dagger}],[a ^{\dagger}, a]$;
		\item 
		如果对于谐振子基态, $a u_0=0$, 求波函数 $u_0$;
		\item 
		把 Hamilton 量用 $a$ 与 $a ^{\dagger}$ 表示, 并求 $(a ^{\dagger})^n\left|u_0\right\rangle$ 的本征值, 并求 $u_n$ 的 本征值;
		\item 
		求 $\left\langle u_n\left|x^2\right| u_n\right\rangle$。
		
		
		
	\end{enumerate}
	
	\banswer{
		
	}
	
\item 
自旋波函数可表示为 $\psi(x)=\left(\begin{array}{c}\xi(x) \\ \eta(x)\end{array}\right)$, 若 $H=p \cdot \sigma_y++m(x) \sigma_z$, 其中 $p$ 为动量, $\mathrm{m}$ 为一个函数 (已取 $\hbar$ 为$  1 $)。
\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
	求 Hamilton 量的坐标表象表示;
	\item 
	若 $m(x)=m$, 不随空间变化, 求动量为 $p$ 的 Hamilton 量本征态;
	\item 
	$\sigma_x$ 为泡利算符: 如果 $\sigma_x \psi(x)$ 本征值为$  1 $ , 则手征为$  1 $ , 求如果手征为$  1 $ ， $\xi(x)$ 与 $\eta(x)$ 满足什么条件;
	\item 
	如果 $m(x)=-M \tanh \left(x / x_0\right)$, 且波函数满足手征为$  1 $ , 求 Hamilton 量 本征值为$  0  $的态矢。(提示: $\int \tanh x d x=\ln \cosh x+C$)
	
	
\end{enumerate}

\banswer{
	
}



\newpage
\item 
有 HF 定理
\[
\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\left\langle\frac{\partial H}{\partial \lambda}\right\rangle_n
\]
\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
用 HF 定理证明 WN 定理$ \left\langle\frac{p^2}{2 m}\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle x \frac{\partial V_n}{\partial x}\right\rangle $；
\item 
用 WN 定理求谐振子 $\left\langle\frac{p^2}{2 m}\right\rangle$;
\item 
已知氢原子 Hamilton 量为
\[
H=-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d r^2}+\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{l(l+1)}{r^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r},  \qquad E_n= -\frac{m e^4}{32 \pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2 n^2}
\]
求 $\left\langle n l\left|\frac{1}{r}\right| n l\right\rangle,\left\langle n l\left|\frac{1}{r^2}\right| n l\right\rangle$.
\end{enumerate}

\banswer{
	
}


\item 
$\mathrm{J}$ 为单电子总角动量, $l$ 为轨道角动量, $s$ 为自旋角动量, $\vec{\sigma} \cdot l$ 为自旋--轨道 耦合项。
\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
	求一组对易力学量完全集;
\item 
求 $\mathrm{J}$ 的本征值, 以及 $\vec{\sigma} \cdot l$ 的本征值;
\item 
求 $\vec{\sigma} \cdot l$ 的本征态。
	
	
	
\end{enumerate}

\banswer{
	
}

\item 
考虑无限深势阱
\[
V(x)=\left\{\begin{aligned}
	0,&& -\dfrac{L}{2}<x<\dfrac{L}{2} \\ 
	+\infty, && \quad x<-\dfrac{L}{2}, x>\dfrac{L}{2}\end{aligned}\right.
\]
所加微扰为 $a \sin (2 \pi x / L)$, 微扰所在区域是 $-L / 2<x<L / 2$。
\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
	求 $a=0$ 时（无微扰时）本征态;
\item 
求 $E_n^1$ (有微扰时);
\item 
求 $\left\langle\psi_{2 n}^0 \mid \psi_{2 m}^1\right\rangle,\left\langle\psi_{2 n}^0 \mid \psi_{2 m+1}^1\right\rangle$ 和 $\left\langle\psi_{2 n+1}^0 \mid \psi_{2 m+1}^1\right\rangle$ 。
	
	
	
\end{enumerate}
提示：积化和差公式
\[
\begin{aligned}
	& \sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)] 
	& \cos a \sin b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)] \\
	& \cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] 
	& \sin a \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]
\end{aligned}
\]


\banswer{
	
}



\end{enumerate}

